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%第九周习题

% 7.3. 线性变换的矩阵
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%摘要 Week J Teaching Goal 
\newcommand{\JABSA}{线性变换的矩阵}
\newcommand{\JABSAa}{计算线性变换关于一个基的矩阵。}
\newcommand{\JABSAb}{线性变换全体与矩阵全体之间的同构。}
\newcommand{\JABSAc}{证明线性变换关于不同的基的矩阵是相似的。}

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%\item % 1
\newcommand{\JTA}{
（定理1a）设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是线性空间 $V$ 的一组基。
设线性变换 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$ 在这组基上的作用结果相同，即 $\mathcal{A}(\varepsilon_i)=\mathcal{B}(\varepsilon_i),\, 1\le i\le n$. 
证明：这两个线性变换相等，即 $\mathcal{A}=\mathcal{B}$. 
}

%\item % 1a.  
\newcommand{\JTAsol}{
{\color{red}解答：验证两个映射相等的定义。  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 2
\newcommand{\JTB}{
（定理1b）设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是线性空间 $V$ 的一组基。
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $V$ 中任意一组向量。
证明：存在一个线性变换 $\mathcal{A}$ 使得 $\mathcal{A}(\varepsilon_i)=\alpha_i,\, 1\le i \le n$. 
}

%\item % 2a.  
\newcommand{\JTBsol}{
{\color{red}解答：构造一个线性变换。 
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 3
\newcommand{\JTC}{
（定义2）设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是线性空间 $V$ 的一组基。
设 $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的线性变换。什么是线性变换 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵？
}

%\item % 3a.  
\newcommand{\JTCsol}{
{\color{red}解答：考察线性变换将这组基变成了什么？  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 4
\newcommand{\JTD}{
（例1）设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4$ 是线性空间 $V$ 的一组基。
设 $W=L(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$ 是由前两个向量线性生成的子空间。
定义线性变换 $\mathcal{A}$ （称为对子空间 $W$ 的一个投影）如下：
\begin{equation*}
\left\{ \begin{aligned}
\mathcal{A}(\varepsilon_i) = \varepsilon_i, \,\, & \,\, i=1,2, \\ 
\mathcal{A}(\varepsilon_i) = \theta, \,\, & \,\, i=3,4,  
\end{aligned}\right.
\end{equation*}
其中 $\theta$ 是 $V$ 的零向量。求线性变换 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵。

}

%\item % 4a.  
\newcommand{\JTDsol}{
{\color{red}解答： 线性变换在一组基下的矩阵的定义。 
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 5
\newcommand{\JTE}{
（定理2）设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间 $V$ 的一组基。
记 $\mathcal{L}(V)$ 是 $V$ 上的线性变换全体组成的集合。
记 $M_n(\mathbb{R})$ 是 $n$ 阶实数矩阵全体组成的集合。
对每个线性变换 $\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$, 都对应了一个矩阵 $A\in M_n(\mathbb{R})$. 
证明：这个对应保持了和、数量乘法、乘法和求逆这些代数运算。

}

%\item % 5a.  
\newcommand{\JTEsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 6
\newcommand{\JTF}{
（定理3）设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是线性空间 $V$ 的一组基。
设线性变换 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵是 $A$. 
设向量 $\xi$ 在这组基下的坐标是 $X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$. 
证明：向量 $\mathcal{A}(\xi)$ 在这组基下的坐标是 $(y_1,y_2,\cdots, y_n)=AX^t$.

}

%\item % 6a.  
\newcommand{\JTFsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。向量在一组基下的坐标的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 7
\newcommand{\JTG}{
（定理4）设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 在两组基 
$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 与 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 下的矩阵分别是 $A$ 与 $B$. 
设从 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 到 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 的过渡矩阵是 $P$. 
证明：$B=P^{-1}AP$. 


}

%\item % 7a.  
\newcommand{\JTGsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。从一组基到另一组基的过渡矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 8
\newcommand{\JTH}{
（定义3）什么时候称两个 $n$ 阶实数矩阵 $A$ 与 $B$ 是相似的？
}

%\item % 8a.  
\newcommand{\JTHsol}{
{\color{red}解答：若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1}AP$. 
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 9
\newcommand{\JTI}{
（定理5）证明：同一个线性变换在不同的基下的矩阵之间是相似的。
反之，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作是同一个线性变换在两组基下的矩阵。
}

%\item % 9a.  
\newcommand{\JTIsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。相似的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 10
\newcommand{\JTJ}{
设 $V$ 是实数域上的二维线性空间。设线性变换 $\mathcal{A}$ 在一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 下的矩阵是
$\begin{pmatrix} 2&1 \\ -1& 0 \end{pmatrix}$. 
设另一组基为 $\eta_1=\varepsilon_1-\varepsilon_2, \eta_2=-\varepsilon_1+2\varepsilon_2$. 
求 $\mathcal{A}$ 在基 $\eta_1, \eta_2$ 下的矩阵。

}

%\item % 10a.  
\newcommand{\JTJsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 11 Ex. 7(5)
\newcommand{\JTK}{
已知 \(\mathbb{R}^3\) 中线性变换 \(\mathcal{A}\) 在一组基 \(\eta_1 = (-1,1,1)\), \(\eta_2 = (1,0,-1)\), \(\eta_3 = (0,1,1)\) 下的矩阵是
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 1 
\end{pmatrix},
\)
求 \(\mathcal{A}\) 在另一组基 \(\varepsilon_1 = (1,0,0), \varepsilon_2 = (0,1,0), \varepsilon_3 = (0,0,1)\) 下的矩阵。

}

%\item % 11a.  
\newcommand{\JTKsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 12 Ex. 7(6)
\newcommand{\JTL}{
在 \(\mathbb{R}^3\) 中，\(\mathcal{A}\) 定义如下，求 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_1 = (1,0,0), \varepsilon_2 = (0,1,0), \varepsilon_3 = (0,0,1)\) 下的矩阵，
\[
\begin{cases}
\mathcal{A} \eta_1 = (-5,0,3), \\
\mathcal{A} \eta_2 = (0,-1,6), \\
\mathcal{A} \eta_3 = (-5,-1,9),
\end{cases}
\,\, \textrm{其中}\,\,
\begin{cases}
\eta_1 = (-1,0,2), \\
\eta_2 = (0,1,1), \\
\eta_3 = (3,-1,0).
\end{cases}
\]


}

%\item % 12a.  
\newcommand{\JTLsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 13 Ex. 8
\newcommand{\JTM}{
在 \(\mathbb{R}^{2\times 2}\) 中定义线性变换如下，
\(
\mathcal{A}_1(X) = 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix} X,
\)
%\quad 
\(
\mathcal{A}_2(X) = X 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix},
\)
%\quad 
\(
\mathcal{A}_3(X) = 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix} X 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}. 
\)

求 \(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \mathcal{A}_3\) 在基 \(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\) 下的矩阵。

}

%\item % 13a.  
\newcommand{\JTMsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 14 Ex. 9
\newcommand{\JTN}{
设三维线性空间 \( V \) 上的线性变换 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \) 下的矩阵为
\[
A = 
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}.
\]

%\vspace{-0.5cm}

\begin{enumerate}
\item  求 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_3, \varepsilon_2, \varepsilon_1 \) 下的矩阵；
\item  求 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_1, k\varepsilon_2, \varepsilon_3 \) 下的矩阵，其中 \( k \in P \) 且 \( k \neq 0 \)；
\item  求 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_1 + \varepsilon_2, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \) 下的矩阵。
\end{enumerate}

}

%\item % 14a.  
\newcommand{\JTNsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 15 Ex. 11
\newcommand{\JTO}{
在 \( n \) 维线性空间中，设有线性变换 \(\mathcal{A}\) 与向量 \(\xi\)，使得 \(\mathcal{A}^{n-1} \xi \neq 0\)，但 \(\mathcal{A}^n \xi = 0\)，求证 \(\mathcal{A}\) 在某组基下的矩阵是
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]

}

%\item % 15a.  
\newcommand{\JTOsol}{
{\color{red}解答：  选取一组适当的基。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 16 Ex. 12
\newcommand{\JTP}{
设 \( V \) 是数域 \( \mathbb{R} \) 上 \( n \) 维线性空间。证明：\( V \) 上的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换。
}

%\item % 16a.  
\newcommand{\JTPsol}{
{\color{red}解答：与所有矩阵可交换的矩阵是数量矩阵。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 17 Ex. 13
\newcommand{\JTQ}{
\(\mathcal{A}\) 是数域 \(\mathbb{R}\) 上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的一个线性变换。证明：如果 \(\mathcal{A}\) 在任意一组基下的矩阵都相同，那么 \(\mathcal{A}\) 是数乘变换。

}

%\item % 17a.  
\newcommand{\JTQsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 18 Ex. 15 
\newcommand{\JTR}{
给定 \(\mathbb{R}^3\) 的两组基
%\begin{eqnarray*}
$\varepsilon_1 = (1, 0, 1), \varepsilon_2 = (2, 1, 0), \varepsilon_3 = (1, 1, 1),$ 与  
$\eta_1 = (1, 2, -1), \eta_2 = (2, 2, -1), \eta_3 = (2, -1, -1).$
%\end{eqnarray*}
由 \( \mathcal{A} \varepsilon_i = \eta_i, (i = 1, 2, 3)\) 定义了线性变换 \(\mathcal{A}\). 
\begin{enumerate}
\item  写出由基 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) 到基 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\) 的过渡矩阵；
\item  写出 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) 下的矩阵；
\item  写出 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\) 下的矩阵。
\end{enumerate}

}

%\item % 18a.  
\newcommand{\JTRsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 19 Ex. 7(3)
\newcommand{\JTS}{
在次数小于 $n$ 的实系数多项式组成的线性空间 \( \mathbb{R}[x]_n \) 中，设变换 \( \mathcal{A} \) 为 \( f(x) \mapsto f(x+1) - f(x) \)，证明 $\mathcal{A}$ 是线性变换，并求 \( \mathcal{A} \) 在下述基下的矩阵，
\[
e_0 = 1, \quad e_i = \frac{x(x-1) \cdots (x-i+1)}{i!}, \quad i = 1, 2, \cdots, n-1. 
\]

}

%\item % 19a.  
\newcommand{\JTSsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 20 Ex. 7(4)
\newcommand{\JTT}{
考虑6个函数
%\begin{eqnarray*}
 $\varepsilon_1 = e^{ax} \cos bx$, %\hspace{0.5cm}
 $\varepsilon_2 = e^{ax} \sin bx$, %\hspace{0.5cm}
 $\varepsilon_3 = xe^{ax} \cos bx$, %\\ 
 $\varepsilon_4 = xe^{ax} \sin bx$, %\hspace{0.5cm} 
 $\varepsilon_5 = \frac{1}{2}x^2 e^{ax} \cos bx$, %\hspace{0.5cm}
 $\varepsilon_6 = \frac{1}{2}x^2 e^{ax} \sin bx$ 
%\end{eqnarray*}
的所有实系数线性组合构成的实数域上的一个线性空间，求微分变换 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_i (i=1,2,\cdots,6)\) 下的矩阵。
}

%\item % 20a.  
\newcommand{\JTTsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

